وكذلك بالعكس ، كلّ ثلاثة أعداد متناسبة ، فإن مضروب أولها في ثالثها كمضروب ثانيها في نفسه ، وهذا مثال ذلك : 964 ، كل ثلاثة أعداد متناسبة إذا كانت حاشيتاها معلومتين والواسطة مجهولة ، أعني بالحاشيتين الأول والثالث ، فإذا ضربت إحدى الحاشيتين في الأخرى ، وأخذ جذر المجتمع ، كان ذلك هو الواسطة المجهولة . فإن كانت احدى الحاشيتين معلومة ، والواسطة معلومة ، ضربت الواسطة في مثلها ، وقسم المبلغ على الحاشية المعلومة ، فما خرج من القسمة فهو الحاشية المجهولة الأعداد المتناسبة ، إذا كانت أربعة فإن نسبتها على نوعين ، أحدهما نسبة التوالي ، والآخر غير التوالي . فأما الأعداد المتناسبة المتوالية على نسبتها إذا كانت أربعة ، فإن قدر أولها من ثانيها كقدر ثانيها من ثالثها ، وثانيها من ثالثها كثالثها من رابعها ، مثال ذلك : « ب د ح يو » إذا كانت أعدادا متناسبة غير متوالية ، كان قدر أولها من ثانيها كقدر ثالثها من رابعها ، ولم يكن قدر ثانيها من ثالثها كقدر ثالثها من رابعها ، مثل هذه الصورة : ح وج يو ، كل أربعة أعداد متناسبة متوالية كانت أو غير متوالية ، فإن مضروب أولها في رابعها مثل مضروب ثانيها في ثالثها . وإذا ضربت إحدى الواسطتين في الأخرى ، وقسم المبلغ على الحاشية المعلومة ، فما خرج فهو الحاشية المجهولة ، فإن كانت إحدى الواسطتين مجهولة وسائرها معلومة ، ضربت احدى الحاشيتين في الأخرى ، وقسمت المبلغ على الواسطة المعلومة ، فما خرج فهو الواسطة المجهولة الاعداد المتناسبة المتوالية على نسبتها . إذا كانت أربعة وكان عددان منها معلومين والباقيان مجهولين أمكن إخراج المجهولين بالمعلومين ، فإن كان الأول والثاني معلومين ضربت الثاني في مثله وقسمت المبلغ على الأول ، فما خرج فهو الثالث ؛ فإن كان الأول والثالث معلومين ضربت الأول في الثالث وأخذت جذر المبلغ ، فما كان فهو الثاني ، ثم ضربت الثالث في نفسه ، وقسمت المبلغ على الثاني ، فما خرج فهو الرابع . وكذلك العمل في سائر الأعداد . فأما إذا كانت أربعة أعداد متناسبة غير